Основные логические операции
Суждения в математической логике могут быть простыми и сложносоставными. Примеры простых суждений:
х = 1 рост < 160
А цена (х, у)
Сложносоставные суждения в математической логике образуются из простых с помощью логических связок и, или и
не, выражающих три основных логических операции:
логическая связка не -
отрицание суждений;
логическая связка или - конъюнкция
суждений;
логическая связка и -
дизъюнкция суждений.
Примеры сложносоставных суждений:
не А - неверно суждение А
С или В - истинно С или В
(х > 0) и (у > 0) - (х больше 0) и (у
больше 0)
(глаза = синие) или (глаза = голубые)
Логическая связка не используется для выражения отрицаний. Примеры:
не (глаза = синие), - неверно, что глаза синие
не (А или
В), - неверно, что выполняется А или В
не (любит (Саша, конфеты)) - неверно, что Саша любит конфеты
Наглядной иллюстрацией этих логических связок с предикатами служат следующие диаграммы:
Отрицание не А истинно или ложно в зависимости от истинности исходного суждения А. Свойства отрицания не как логической связки можно описать таблицей истинности:
Таблица истинности:
А не А
| да | нет | ||
| нет | да |
Свойства отрицаний:
НЕ1: Отрицание ложно, если суждение истинно.
НЕ2: Отрицание истинно, если суждение ложно.
Для понимания отрицаний важно уметь выражать их в позитивной форме. Приведем примеры отрицания математических неравенств и их позитивные переформулировки:
не
(х = 0) º (х ¹ 0)
не (х ¹
0) º (х = 0)
не
(х > 0) º (х £ 0)
не
(х < 0) º (х ³ 0)
не
(х ³ 0) º (х < 0)
не
(х £ 0) º (х > 0)
Свойства отрицаний, записанные в таблицу истинностности, могут быть описаны как факты на языке Пролог:
не (да, нет);
не (нет, да);
После ввода этих фактов в ЭВМ с помощью запросов можно перепроверить свойства отрицаний:
? не (А, нет)
А = да
? не (А, да)
А = нет
Логическая связка и в математической логике называется конъюнкцией. Таблица истинности
конъюнкции:
А В А и В
|
да |
да |
да |
|
да |
нет |
нет |
|
нет |
да |
нет |
|
нет |
нет |
нет |
И1: Конъюнкция А и В истинна, когда истинны оба суждения.
И 2: Конъюнкция А и В ложна, когда ложно хотя бы одно из суждений А или В.
Логическая связка или в математической логике называется дизъюнкцией. Таблица истинности
дизъюнкции:
А В А или В
|
да |
да |
да |
|
да |
нет |
да |
|
нет |
да |
да |
|
нет |
нет |
нет |
ИЛИ1: Дизъюнкция А или В истинна, когда истинно любое из суждений А или В.
ИЛИ2: Дизъюнкция А или В ложна, когда ложны оба суждения А и В.
Свойства конъюнкции и дизъюнкции также можно описать в виде фактов на языке Пролог:
Дизъюнкция: Конъюнкция:
или (да, да, да); и2 (да, да, да);
или (да, нет, да); и2 (да, нет, нет);
или (нет, да, да); и2 (нет, да, нет);
или (нет, нет, нет); и2 (нет, нет, нет);
Опираясь на эти факты можно получить ответы на вопросы о свойствах дизъюнкции и конъюнкции с помощью ЭВМ:
? или (А, В, нет) ? и 2 (А, В, да)
А = нет В = нет А = да В = да
? или (А, В, да) ? и 2 (А, В, нет)
А = да В = да А = да В = нет
А = да В = нет А = нет В = да
А = нет В = да А = нет В = нет
Одной из важнейших логических связок математической логики является импликация А ® В. Эта связка в математической логике используется для определения правил логического вывода.
Импликация А ® В
- это логическое следование. Импликация А ® В
читается: «если А, то В». Первое суждение в импликации называется посылкой, а второе суждение - следствием.
Приведем примеры правил логического вывода:
а) с использованием высказываний:
если «на улице дождь», то «на улице мокро»,
б) с использованием предикатов:
любит (х, конфеты) ® сластена (х).
Таблица истинности импликации:
А В А ® В
|
да |
да |
да |
|
да |
нет |
нет |
|
нет |
да |
да |
|
нет |
нет |
да |
П1: «Импликация А ® В ложна,
когда посылка А истинна, а следствие В - ложно».
П2: «Импликация А ® В истинна,
когда истинно следствие либо ложны и посылка и следствие».
В языке Пролог импликации используются для описания правил вывода и определения новых логических понятий. Например, понятие «сластена» в языке .Пролог описывается следующим образом:
сластена (х) ¬ любит (х, конфеты);
Описание этого правила позволяет вводить в ЭВМ вопросы о «сластенах» и получать осмысленные ответы, исходя из сведений, хранящихся в базе данных:
? сластена (х) - Кто сластена?
х = Маша
С помощью таблиц истинности могут быть описаны и проверены свойства любых сложносоставных высказываний. Соответственно с помощью этих таблиц на ЭВМ средствами языка Пролог могут быть проверены любые сложносоставные высказывания и законы исчисления высказываний.
Задача 1. Проверьте закон двойного отрицания в исчислении высказываний
не (не А) º А
Р е ш е н и е . Рассмотрим объединенную таблицу истинности высказываний
А не А не (неА)
|
да |
нет |
да |
|
нет |
да |
нет |
Сравнение крайних столбцов показывает, что всюду, где высказывание А истинно, там же истинно и двойное отрицание не (не А). И наоборот, всюду, где ложно А, там ложно и двойное отрицание не (не А). Следовательно, двойное отрицание тождественно исходному высказыванию: не
(не А) º А.
Задача 2. Сравните с помощью таблиц истинности отрицание дизъюнкции и отрицание конъюнкции не (А и
В) и не (А или В).
Р е ш е н и е .
А В А и В не (А и В) А или В не (А или В)
|
да |
да |
да |
нет |
да |
нет |
|
да |
нет |
нет |
да |
да |
нет |
|
нет |
да |
нет |
да |
да |
нет |
|
нет |
нет |
нет |
да |
нет |
да |
В о п р о с ы
1. Когда истинно отрицание?
2. Когда ложна дизъюнкция?
3. Когда истинна конъюнкция?
4. Когда ложна импликация?
З а д а н и е
1. Составьте таблицы истинности для утверждений:
а) (не А) и (не В); в) (не
А) или (не В);
б) А и (не В); г) А или (не
В).
2. Сравните с помощью таблиц истинности логические выражения:
а) не (А и В); в) (не А) или
(не В);
б) не (А и В); г) (не А) или
(не В).
3. Проверьте по таблицам истинности логические законы:
а) отрицание конъюнкции:
не (А и
В) = (не А) или (не
В);
б) отрицание дизъюнкции:
не (А или
В) = (не А) и (не В);
в) отрицание импликации:
не (А ® В) º (не В) ® (не
А).
