Информатика


Решение сложных задач - часть 4


На первом шаге при k = 1 первый элемент последовательности

х1' = Min (x1, х2, ..., хN),

На втором шаге второй элемент последовательности

x2' = Min (х2, ..., хN).

В силу свойств минимума последовательности чисел будем иметь

х1' = Min(x1, x2, ..., хN) = min (x1, Min (х2, ..., хN) £ (Min (х2, ..., хN) = x2'.

Таким образом, при k = 2 результатом станут значения х1' и x2', такие что

х1' £ x2'

На третьем шаге выполнения основного цикла результатом станет

х3 = Мin(х3, ..., хN).

Опять же в силу свойств минимума последовательности имеем

х2' = Min (х2, х3, ..., хN) = min (x2, Min (x3, ..., хN)) £ Min (x3, ..., хN) = x2'.

Таким образом, после третьего шага при k = 3 первые три значе­ния последовательности х1', x2', x3' будут удовлетворять условию

х1'£ x2'£ x3'

Из приведенных выкладок можно сделать индуктивное предположение, что на каждом очередном k-м шаге выполнения основного цикла первые k членов последовательности х1', x2', .... хk' будут удов­летворять условию

х1'£ x2'£  … £ xk'.

Данное предположение доказывается с помощью математической индукции. На начальных шагах при k == 2 и k = 3 оно уже показано. Покажем, что оно будет выполнено на (k + 1)-м шаге, если это усло­вие выполнено на k-м. шаге.

В силу Леммы 2 на k-м и (k + 1)-м шагах выполнения основного цикла промежуточными результатами будут

хk'   = Min(xk, xk+1, ..., хN),

хk+1' = Min (xk+1, ..., хN).

В силу свойств минимума последовательности чисел имеем

хk' = Min(xk, xk+1, ..., хN) = min (хk, Min (хk+1, ...,хN)) £ Min (xk+1, ..., хN) = хk+1'.

Таким образом, хk £ xk+1 и в силу индуктивного предположения получаем, что

x1' £ х2' £ ... £ хk' £ xk+'1.

Что и требовалось доказать.

Осталось уточнить результаты выполнения последнего шага цикла при k = N - 1. В силу Леммы 2 результатом будет значение

xN-'1 = Min (xN-1, xN) £

хN'.

Таким образом, после N - 1 шагов выполнения основного цикла для последовательности в целом будут выполнены соотношения упорядоченности




Начало  Назад  Вперед



Книжный магазин